I. Limitons le débat.

• La définition du produit scalaire comme une forme bilinéaire définie dans un
  -espace vectoriel n'est pas restreinte à certaines dimensions.
  
• Le déterminant d'une famille de
  
  vecteurs est défini dans un espace vectoriel euclidien de même dimension
  .
  
  Nous parlerons ainsi du déterminant de deux vecteurs du plan
  ou de trois vecteurs de l'espace
  .
  
  Dans ce dernier cas, nous parlerons aussi de produit mixte.
  
• Le produit vectoriel de deux vecteurs n'est défini que dans l'espace
  , ou un espace euclidien isomorphe.
  

Pour simplifier le débat nous parlerons toujours de l'espace vectoriel

ou de l'espace affine associé en laissant au lecteur la définition de l'isomorphisme.


II. Propriétés du produit scalaire dans
.
Selon les auteurs et selon les auditoires un groupe de propriétés est pris comme définition,
il suffit pour s'en convaincre de parcourir les programmes des lycées.

1. Le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique associée
   à une forme quadratique définie positive :
   :
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
2. Si on note
   la norme du vecteur
   :
   
   
   
   
   
   
   
3. Expression trigonométrique, on note
   l'angle des vecteurs
   et
   :
   
   
   
   
   
   
   En regroupant les propositions 2 et 3, on retrouve la formule d'Al Kashi :
   
   
   
   
   
   
   
4. Interprétation géométrique.
   
   Si est la projection orthogonale du point
   sur la droite
   :
   
   
   
   
   
5. Expression analytique.
   
   L'espace est muni d'un repère orthonormé.
   
   Si et
   ,
   sont les coordonnées respectives des vecteurs
   et
   , on a :
   
   
   
   
   
   
   En particulier en dimension deux ou trois, on retrouve :
   
   ou
   
   
   
   

III. Produit mixte ou déterminant de trois vecteurs dans
.
Même si le déterminant de
vecteurs est défini dans un espace de dimension

quelconque, le terme de produit mixte est réservé à la dimension trois.

1. Le déterminant de trois vecteurs est une forme trilinéaire alternée :
   
   
   
   • Si on multiplie un des vecteurs
     ,
     ou
     par le réel
     , le déterminant
     est multiplié par
     .
     
   • Si on remplace un des vecteurs
     ,
     ou
     
     par une somme de deux vecteurs, le déterminant est la somme des déterminants.
     
   • Si on permute deux vecteurs, le déterminant est transformé en son opposé :
     
     
     
   • Une permutation circulaire des trois vecteurs
     ,
     et
     ne modifie pas leur déterminant :
     
     
     
   • Si deux vecteurs sont colinéaires, le déterminant est nul.
     
     En particulier si deux vecteurs sont égaux, le déterminant est nul.
     

Rappelons que le déterminant de deux vecteurs du plan, vérifie :
</li>

Expression analytique, méthode de calcul.

L'espace
est muni d'un repère orthonormé direct, l'expression du produit mixte ou du déterminant des trois vecteurs
,
,
est alors :

Nous remarquons que chacun des six termes de la première somme contient les trois
noms de variable et les trois valeurs d'indice.

Pour retrouver les signes de ces six éléments, nous vous proposons la méthode de
Sarrus développée :

Le déterminant des trois vecteurs est représenté sous la forme classique d'un tableau carré et,
pour faciliter le calcul, nous recopions les deux premières colonnes à droite du tableau.

Il suffit maintenant de lire parallèlement aux diagonales en remarquant que, de gauche à droite, quand on descend c'est
plus facile que quand on Monte avec un « M » comme moins facile.

Interprétation géométrique.

Le volume du prisme construit sur les trois vecteurs
,
et

apparaît comme la valeur absolue du produit mixte de ces trois vecteurs :

Notons qu'il est possible d'utiliser le produit mixte pour définir un concept de volume orienté.

IV. Produit vectoriel de deux vecteurs de
.
Le produit vectoriel apparaît implicitement ( paragraphe III - 2 )
dans l'expression analytique du produit mixte.

Le produit vectoriel
est l'unique vecteur de
qui vérifie l'identité :

1. Le produit vectoriel est une application bilinéaire antisymétrique de
   dans
   .
   
   :
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
2. Le produit vectoriel est une opération interne dans
   .
   
   
   
   • Anticommutative :
     .
     
   • Distributive sur la somme des vecteurs, à droite et à gauche :
     
     et
     .
     

Attention, le produit vectoriel n'est pas associatif !


</li>

Expression trigonométrique de la norme du produit vectoriel :

N'oublions pas que le produit vectoriel est un vecteur.

Interprétation géométrique.

Le vecteur
est orthogonal au plan des vecteurs
et
.

Pour l'orientation de ce vecteur, on fait en général confiance à la sagesse des anciens vignerons,
dans un repère direct :

« Un tire bouchon tournant de façon à amener la demi-droite
sur la demi-droite

progresse lentement dans la sens du vecteur
».

La norme du vecteur

est égale à la mesure de l'aire du parallélogramme,
, construit sur les vecteurs
et
.

Dans les calculs de flux on a l'habitude de caractériser un élément de surface par un vecteur normal à
cette surface, de norme la mesure de l'aire de la surface et orienté de façon à ce que le bord de
l'élément soit parcouru dans le sens direct ... mais cela dépasse un peu cet exposé.

Expression analytique.

L'espace est muni d'un repère orthonormé
.

Si et
sont les coordonnées respectives des vecteurs
et
, on a :

L'analogie avec l'expression du produit mixte vue dans le paragraphe III - 2 suggère un
moyen pratique pour retrouver l'expression des coordonnées d'un produit vectoriel :

Nous effectuons le développement formellement, sans nous préoccuper de la nature des éléments du tableau.

Cette écriture fait apparaître les coordonnées du produit vectoriel comme les
cofacteurs des éléments de la dernière ligne dans
la matrice carrée dont les deux premières lignes sont les vecteurs
et
.


Un autre moyen pratique revient à écrire les coordonnées des vecteurs
et

sur deux lignes et à rajouter la colonne des abscisses à droite du tableau obtenu.

En glissant une fenêtre sur le dessin on obtient les trois déterminants d'ordre deux,
,
et
.

Il suffit de retenir que chaque déterminant représente pour le produit vectoriel la coordonnée,
,
ou

dont le nom ne figure pas dans son tableau.

V. Encore quelques formules :

1. Inégalités :
   
   
   
   

   			(1)
   			(2)

   
   La première inégalité, dite inégalité de Schwarz,
   devient une égalité si et seulement si les vecteurs
   et
   sont colinéaires.
   
   Rappelons que le produit scalaire de deux vecteurs est nul si et seulement si les
   vecteurs sont orthogonaux.
   
   
   La deuxième inégalité, moins utilisée, devient une égalité si et seulement si les vecteurs
   et
   sont orthogonaux.
   
   Rappelons que le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul.
   
2. Dérivation.
   
   Les formules de dérivation s'appliquent comme pour les fonctions numériques :
   
   
   
   
   Pour la dernière formule, on veille à toujours bien respecter l'ordre dans lequel on voit les vecteurs !